بی‌نهایت و فراسوی آن: چرا برخی از بینهایت ها از برخی بزرگترند؟

در سال 83،  ریاضیدان برجسته آلمانی، گئورگ کانتور اولین نظریه‌ی ریاضیاتی بسیاردقیق و نظام‌مند خود را درباره بی نهایت ها ارائه داد. کاری بدیع، نبوغ آمیز و کاملا متفاوت با تمام آنچه قبل از وی صورت گرفته بود. این کار برخی نتایج شگفت انگیزی را درپی داشت. در واقع کانتور نشان داد که برخی از بی نهایت ها بزرگتر از برخی دیگرند؛ واینکه ما می توانیم ابزاری دقیق برای اندازه گیری اندازه‌­های مختلف بی نهایت طراحی کنیم، و بر روی آنها محاسباتی انجام دهیم. این دستاورد نه تنها اهانتی بود به شهود {عرفی}، بلکه خِرَدِ ریاضیِ مرسوم {آن زمان} را نیز تحقیر می کرد. من در این نوشته طرحی کلّی از جنبه‌های اصلی کارِ کانتور را ارائه خواهم داد که شامل مهم ترین دست‌آورد او؛ یعنی آنچه را که معمولا تحتِ عنوانِ "قضیه کانتور" می شناسند، خواهد بود. اما درابتدا می‌خواهم اجمالا نگاهی تاریخی داشته باشم به اینکه چرا این کار در ابتدا مورد سوءظن قرار  گرفت و چنان بت‌شکنانه بنظر می رسید. نهایتا هدف من این است تا نشان دهم این تصور درواقع اشتباه بوده است. ادعای من این خواهد بود که کارِ کانتور نه تنها اهانتی نبوده به خِرَدِ ریاضیِ مرسوم، بلکه درحقیقت خدمتی بوده برای پشتیبانی از آن.
تصور متعارف از بی‌نهایت این است که چیزیست بی‌پایان، نامحدود، غیرقابل بررسی و غیرقابل اندازه‌گیری. از زمانی که بشر قادر به فکر کردن شد، بی‌نهایت را همراه با نوعی احساس عجیبِ آمیخته با حیرانی، تردید، فریبندگی و تقدس می نگریست. از طرفی می پرسید آیا اصلا می توانیم فهمی از بی نهایت داشته باشیم: آیا بی نهایت نباید بالذاته خارج از فهمِ متناهی ما باشد؟ اما درمجموع، از سوی دیگر بی میل، یا در واقع، قادر نبود تا آن را نادیده بگیرد.
در قرن چهارم پیش از میلاد، ارسطو با ایجاد یک تمایز به این معما پاسخ داد. او معتقد بود نوعی از بی نهایت وجود دارد که واقعا نمی توان آن را درک کرد. اما نوعی دیگر نیز هست که قابل فهم وآشناست، و جنبه اساسی از واقعیت را تشکیل می دهد. او اولی را "بالفعل" و دومی را "بالقوه" می نامد. یک نامتناهی "بالفعل" آن است که در نقطه ای از زمان قرار دارد. نامتناهی "بالقوه" آن است که در طول زمان جاریست. بنابراین یک شی فیزیکیِ بی نهایت بزرگ، چنانچه وجود داشته باشد، مثالی است از بی نهایت بالفعل. حجم بی نهایتِ آن، در آن واحد وجود خواهد داشت. از طرفی، ساعتی که بی وقفه درحال تیک‌تاک است مثالی است برای بی نهایت بالقوه. این نوع بی نهایت برای همیشه ناکامل می ماند: هرچقدر که ساعت تیک تاک کرده باشد باز هم جایی برای تیک­تاکی دیگر باقی می ماند ارسطو فکر می‌کرد که چیزی عمیقا مساله‌ساز، اگر نگوییم ناسازگار، درباره بی نهایتِ بالفعل وجود دارد. اما فکر می‌کرد که هر فرآیند بی پایان، بی نهایت‌های بالقوه را تصدیق می کند، مانند فرآیند شمردن، یا فرآیند تقسیم کردن اشیا به اجزاء کوچک و کوچکتر، یا خودِ گذرِ زمان.
در ادامه بیشتر بخوانید.